Estática de 4to año

Bienvenidos/as!!

A mis queridos estudiantes:

Este blog es una expresión mas de mi preocupación de lograr la apropiación de los conocimientos de física en ustedes. Espero les sea de mucha utilidad.

Profesor: Leandro Fabián Gómez.

ESTÁTICA:

Es la parte de la Mecánica que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo, sobre el que actúan fuerzas, permanezca en equilibrio.

¿Cuáles son las condiciones de equilibrio?

En física, las condiciones de equilibrio establecen que un cuerpo está en equilibrio si la suma de fuerzas y la suma de momentos aplicados sobre él son iguales a cero.

Por lo tanto, hay dos condiciones de equilibrio: la primera condición dice que la fuerza resultante debe ser nula, y la segunda condición establece que el momento resultante debe ser nulo.

Ten en cuenta que para que se considere que un sistema está en equilibrio se deben cumplir las dos ecuaciones, no basta con que solamente se cumpla una condición.

Primera condición de equilibrio

La primera condición de equilibrio dice que el sumatorio de fuerzas aplicadas a un cuerpo debe ser igual a cero para que dicho cuerpo esté en equilibrio traslacional.

Lógicamente, la suma de fuerzas deber ser nula para los tres ejes, si no se cumple en algún eje entonces el cuerpo no está en equilibrio.

Además, si el sumatorio de fuerzas es nulo significa que el cuerpo no tiene aceleración lineal. De modo que un cuerpo en equilibrio traslacional puede estar en reposo (velocidad nula) o moverse a velocidad lineal constante.

A partir de aquí se distinguen dos tipos de equilibrios traslacionales:

Equilibrio traslacional estático: cuando se cumple la primera condición de equilibrio y además el cuerpo está en reposo.
Equilibrio traslacional dinámico: cuando se cumple la primera condición de equilibrio y el cuerpo tiene velocidad constante (diferente de cero).

Segunda condición de equilibrio

La segunda condición de equilibrio es análoga a la primera condición de equilibrio pero utilizando los momentos en lugar de las fuerzas.

La segunda condición de equilibrio dice que si el sumatorio de momentos de un cuerpo es nulo entonces el cuerpo está en equilibrio rotacional.

Del mismo modo, la suma de momentos debe dar como resultado cero en todos los ejes del sistema de referencia, sino no se verifica la segunda condición de equilibrio.

$\displaystyle \sum\vv{M_x}=0\qquad\sum\vv{M_y}=0\qquad\sum\vv{M_z}=0$

Recuerda que el momento (o torque) de una fuerza en un punto se calcula multiplicando el valor de la fuerza por la distancia perpendicular de la fuerza al punto.

$M=F\cdot d$

Asimismo, para que se cumpla la segunda condición de equilibrio la aceleración angular del cuerpo tiene que ser nula, lo que significa que en este estado el cuerpo no gira o gira a velocidad angular constante.

Ejemplos de las condiciones de equilibrio

Después de ver las definiciones de las dos condiciones de equilibrio, a continuación puedes ver varios ejemplos en la vida cotidiana para acabar de entender el concepto.

Por ejemplo, cuando se cuelga un cuerpo del techo, dicho cuerpo está en equilibrio ya que el sistema está totalmente en reposo. También se puede decir que el sistema está en equilibrio estático.

Otro ejemplo en la vida diaria de las condiciones de equilibrio es la balanza. Cuando el brazo de la balanza se estabiliza y deja de girar, el sistema está en reposo y por tanto también está en equilibrio.

Ejercicios resueltos de las condiciones de equilibrio

Ejercicio 1

Dado un cuerpo rígido con una masa de 12 kg colgado por dos cuerdas con los ángulos que se muestran en la siguiente figura, calcula la fuerza que debe hacer cada cuerda para sujetar el cuerpo en equilibrio.

problema de la primera condicion de equilibrio

Ver solución

Lo primero que debemos hacer para resolver este tipo de problemas es dibujar el diagrama de cuerpo libre de la figura:

ejercicio resuelto de la primera condicion de equilibrio

Ten en cuenta que en realidad solo actúan tres fuerzas sobre el cuerpo colgante, la fuerza del peso P, y las tensiones de las cuerdas T1 y T2. Las fuerzas representadas T1x, T1y, T2x y T2y son las componentes vectoriales de T1 y T2 respectivamente.

Así pues, como sabemos los ángulos de inclinación de las cuerdas, podemos hallar las expresiones de las componentes vectoriales de las fuerzas de tensión:

$T_{1x}=T_1\cdot \text{cos}(20º)$

$T_{1y}=T_1\cdot \text{sen}(20º)$

$T_{2x}=T_2\cdot \text{cos}(55º)$

$T_{2y}=T_2\cdot \text{sen}(55º)$

Por otro lado, podemos calcular cuánto es la fuerza del peso aplicando la fórmula de la fuerza gravitatoria:

$P=m\cdot g=12\cdot 9,81 =117,72 \ N$

El enunciado del problema nos dice que el cuerpo está en equilibrio, por lo tanto, la suma de fuerzas verticales y la suma de fuerzas horizontales deben ser iguales a cero. Así que podemos plantear las ecuaciones de las fuerzas e igualarlas a cero:

$-T_{1x}+T_{2x}=0$

$T_{1y}+T_{2y}-P=0$

Ahora sustituimos las componentes de las tensiones por sus expresiones halladas anteriormente:

$-T_1\cdot\text{cos}(20º)+T_2\cdot \text{cos}(55º)=0$

$T_1\cdot \text{sen}(20º)+T_2\cdot \text{sen}(55º)-117,72=0$

Y, finalmente, resolvemos el sistema de ecuaciones para obtener el valor de las fuerzas T1 y T2:

$\left.\begin{array}{l}-T_1\cdot 0,94+T_2\cdot 0,57=0\\[2ex]T_1\cdot 0,34+T_2\cdot 0,82-117,72=0\end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{c}T_1=69,56 \ N\\[2ex]T_2=114,74 \ N\end{array}$

Ejercicio 2

Calcula el momento que debe hacer el apoyo de la siguiente viga para que esté en equilibrio rotacional:

ejercicio resuelto de la segunda condicion de equilibrio

Ver solución

Para que la viga esté en equilibrio rotacional y por tanto se cumpla la segunda condición de equilibrio, el apoyo debe contrarrestar el momento de torsión generado por la fuerza, así el sumatorio de momentos será nulo.

Por lo tanto, calculamos el momento (o torque) generado por la fuerza en el apoyo:

$M_{fuerza}=13\cdot 9 = 117 \ Nm$

Y ahora planteamos la ecuación de equilibrio de momentos:

$M_{apoyo}+M_{fuerza}=0$

El momento que genera la fuerza va hacia dentro de la pantalla, por lo que su signo es negativo:

$M_{apoyo}-117=0$

Y, finalmente, despejamos la incógnita de la ecuación:

$M_{apoyo}=117 \ Nm$

El momento obtenido tiene signo positivo, así que su sentido es hacia afuera de la pantalla.

Ejercicio 3

Tal y como se ve en la siguiente figura, dos objetos están conectados por una cuerda y una polea de masas despreciables. Si el objeto 2 tiene una masa de 7 kg y la inclinación de la rampa es de 50º, calcula la masa del objeto 1 para que todo el sistema esté en condiciones de equilibrio. En este caso, la fuerza de rozamiento se puede despreciar.

problema sobre el equilibrio traslacional

Ver solución

El cuerpo 1 está sobre una pendiente inclinada, por lo tanto, lo primero que debemos hacer es descomponer vectorialmente la fuerza de su peso para tener las fuerzas en los ejes de la pendiente:

$P_{1x}=P_1\cdot \text{sen}(\alpha)$

$P_{1y}=P_1\cdot \text{cos}(\alpha)$

De modo que el conjunto de fuerzas que actúan en todo el sistema son:

ejercicio resuelto de equilibrio traslacional

El enunciado del problema nos dice que el sistema de fuerzas está en equilibrio, por lo que los dos cuerpos deben estar en equilibrio. A partir de esta información podemos plantear las ecuaciones de equilibrio de los dos cuerpos:

$1\ \rightarrow \ \begin{cases}P_{1x}=T\\[2ex]P_{1y}=N\end{cases} \qquad\qquad 2 \ \rightarrow \ T=P_2$

Por lo tanto, la componente del peso del objeto 1 inclinada en el sentido de la pendiente debe ser igual al peso del objeto 2:

$P_{1x}=P_2$

$P_1\cdot \text{sen}(\alpha)=P_2$

Ahora aplicamos la fórmula de la fuerza gravitatoria y simplificamos la ecuación:

$m_1\cdot g \cdot \text{sen}(\alpha) =m_2 \cdot g$

$m_1 \cdot \text{sen}(\alpha) =m_2$

Por último, sustituimos los datos y despejamos la masa del cuerpo 1:

$m_1 \cdot \text{sen}(50º) =7$

$m_1 =\cfrac{7}{\text{sen}(50º)}$

$m_1=9,14 \ kg$

Ejercicio 4

Como puedes ver en la siguiente figura, una barra horizontal de 10 m aguanta un cuerpo cuya masa es de 8 kg. Sabiendo las distancias entre los apoyos y el cuerpo colgante, ¿cuáles son el valor de las fuerzas realizadas por los apoyos si el sistema está en equilibrio rotacional y traslacional?

Ver solución

En primer lugar, utilizamos la fórmula de la fuerza gravitatoria para calcular el peso que debe soportar la barra horizontal:

$P=m\cdot g=8\cdot 9,81 =78,48 \ N$

Por lo tanto, el diagrama de cuerpo libre del sistema es:

ejercicio resuelto de equilibrio rotacional

El enunciado del problema nos dice que el sistema está en equilibrio de fuerzas, por lo que la suma de todas ellas debe ser cero. Utilizando esta condición de equilibrio, podemos plantear la siguiente ecuación:

$F_A+F_B-P=0$

Por otro lado, el enunciado también nos dice que el sistema está en equilibrio de momentos. De manera que si planteamos la suma de momentos en cualquier punto del sistema el resultado debe ser cero, y si cogemos el punto de referencia cualquiera de los dos apoyos tendremos una ecuación con una sola incógnita:

$M(A)=0$

$-P\cdot 6,5+F_B\cdot (6,5+3,5)=0$

Ahora podemos calcular la fuerza que hace el apoyo B despejando la incógnita de la ecuación:

$-78,48\cdot 6,5+F_B\cdot 10=0$

$F_B=\cfrac{78,48\cdot 6,5}{10}$

$F_B=51,01 \ N$

Y, finalmente, podemos averiguar la intensidad de la fuerza aplicada en el otro apoyo sustituyendo el valor obtenido en la ecuación planteada de las fuerzas verticales:

$F_A+F_B-P=0$

$F_A+51,01-78,48=0$

$F_A=27,47 \ N$

Estática de 4to año

lunes, 22 de agosto de 2022

Bienvenidos/as!!

¿Cuáles son las condiciones de equilibrio?

Primera condición de equilibrio

Segunda condición de equilibrio

Ejemplos de las condiciones de equilibrio

Ejercicios resueltos de las condiciones de equilibrio

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Denunciar abuso